Introducere în teoria pariurilor și a probabilităților

Cuprins


În acest articol am investigat un pic cum stau lucrurile în ceea ce privește Teoria pariurilor și cea a probabilitatilor. Considerăm ca aceste informații pot sa intregeasca un profil de jucător responsabil și asumat în conduita de client al cazinourilor online.

Conform cărții GHIDUL PROBABILITATILOR SI MATEMATICA JOCURILOR DE NOROC, aceasta din urma este o colecție de aplicații probabilistice specifice jocurilor de noroc, iar aceasta aparține matematicii aplicate. Din punct de vedere matematic, jocurile de noroc sunt experimente care generează diverse tipuri de evenimente aleatoare, a căror probabilitate poate fi calculată folosind proprietățile probabilității pe un câmp finit de evenimente.

Începuturile teoriei probabilităților sunt legate de numele unor matematicieni precum Blaise Pascal și Pierre Fermat înca din secolul al XVII-lea, aceștia ajungând la problemele legate de probabilitate datorită jocurilor de noroc.

Despre Teoria Pariurilor

- este o ramură a matematicii aplicate care studiază și care implicit analizează deciziile și strategiile jocurilor de noroc. Aceasta are la baza principii ale probabilității și statistici pentru a înțelege și a creste câștigurile, scazand în acest fel și parametrii riscurilor. Teoria pariurilor nu este doar relevantă pentru cazinouri și jocuri de noroc, ea fiind aplicată și în economie sau finanțe precum și in alte domenii unde rezultatul incert are un rol semnificativ.

Jocurile de noroc nu reprezinta numai o baza a aplicațiilor pure de calcul probabilistic, iar situațiile de joc nu sunt numai evenimente izolate a căror probabilitate numerică este stabilita prin metode matematice– 

 ele sunt de asemenea jocuri a căror desfășurare este influențată de acțiunile umane. În jocurile de noroc, elementul uman are un caracter hotarator. Jucătorul nu este interesat numai de probabilitatile matematice ale diferitelor evenimente de joc, ci are și așteptări legate de rezultatele jocului, cat timp exista interacțiune permanentă între joc și jucători. Pentru a obține rezultate favorabile în urma acestei interacțiuni, jucători iau in calcul toate informațiile posibile, inclusiv statistics, pentru a elabora strategii de joc. 

Atata timp cat oamenii apelează la rezultate statistice trecute pentru a obține o probabilitate subiectivă drept grad de încredere, exista și procesul psihologic invers - predicția rezultatelor statistice viitoare bazate pe o probabilitate data. Un astfel de comportament predictiv se manifestă din plin în jocurile de noroc, unde probabilitatile sunt asociate cu mizele puse în joc, cu scopul de a prevedea câștiguri sau pierderi medii în viitor. Un astfel de castig sau pierdere prevăzute pe baza probabilitatilor senumeste speranta matematica sau valoare medie și este suma produselor dintre probabilitatea fiecărui rezultat posibil si castigul sau specific. Astfel, speranta matematica reprezinta suma medie pe care un jucător se așteaptă sa o castige pentru un anumit pariu repetat de mai multe ori. Un joc sau o situație de joc în care speranta matematica pentru jucător este zero (nu exista castig, nici pierdere neta) este numit joc corect. Atributul corect nu se referă aici la procesele tehnice ale jocului, ci la balanta șanselor dintre casa și jucător.

Conceptele cheie ale Teoriei pariurilor sunt:

  • Valoarea așteptată care este un concept central în teoria pariurilor. Reprezintă media ponderată a tuturor posibilelor ce pot rezulta în urma unui pariu, fiecare rezultat fiind ponderat cu probabilitatea sa de a apărea. 

Formula acesteia este EV=i=1∑n​pi​⋅xi​

  • Apoi riscul și rezistenta la risc care se referă la cat de variabile si incerte sunt castigurile posibile. Aversiunea la risc este preferința de a evita incertitudinea, chiar dacă pariul are o valoare așteptată pozitivă. Aceasta este descrisă de teoria utilității, care sugerează că oamenii maximizează utilitatea așteptată, nu neapărat câștigul așteptat.
  • Si Paradoxul lui St. Petersburg care ilustrează limitele valorii așteptate în luarea deciziilor. În acest joc, un jucător plătește o sumă fixă pentru a arunca o monedă până când apare cap. Câștigul se dublează de fiecare dată când apare față, iar câștigul total este 2n2^n2n unde nnn este numărul de aruncări până la primul cap. Deși valoarea așteptată a câștigului este infinit de mare, majoritatea jucătorilor nu ar plăti o sumă mare pentru a participa, datorită riscului ridicat.
  • Teoria utilității a ajutat la depășirea limitelor valorii așteptate. Utilitatea este o măsură subiectivă a valorii sau satisfacției pe care un individ o poate obține dintr-un anumit rezultat. 
  • Și alte strategii optime de pariuri precum cea mai faimoasa strategie de pariuri care este criteriul lui Kelly. Acesta sugerează mărimea optimă a unui pariu în funcție de probabilitatea de castig și cotele oferite. Formula lui Kelly este: f∗=bp−qbf^* = frac{bp - q}{b}f∗=bbp−q​ unde f∗f^*f∗ este fracția din capitalul total de pariat, bbb este cota netă (câștigul pentru fiecare unitate pariată), ppp este probabilitatea de câștig, și q=1−pq = 1 - pq=1−p este probabilitatea de pierdere. Această strategie maximizează creșterea geometrică a capitalului pe termen lung.

Despre Teoria Pariurilor


Evenimente probabilistice in jocurile de noroc

Procesele tehnice ale unui joc reprezinta experimente care genereaza evenimente aleatoare.

Aruncarea zarurilor în jocul de craps este un experiment care genereaza evenimente precum apariția anumitor numere, obținerea unei anumite sume a numerelor apărute, apariția unui număr cu anumite proprietăți (mai mic decat un anumit numar, mai mare decat un anumit numar, par, impar, etc.).

Mulțimea rezultatelor posibile atașată unui astfel de experiment este {1, 2, 3, 4, 5, 6} pentru aruncarea unui zar sau {(1, 1), (1, 2), etc, (1, 6), (2, 1), (2, 2), etc, (2, 6), etc, (6, 1), (6, 2), etc, (6, 6)} pentru aruncarea a doua zaruri. Ultima este o multime de perechi ordonate si are 6 x 6 = 36 elemente.

Evenimentele pot fi identificate cu mulțimile, anumite parti ale mulțimii rezultatelor posibile. Spre exemplu, evenimentul de apariție al unui număr par în experimentul de aruncare a zarului este reprezentat de multimea {2, 4, 6};

Invartirea rotii unei rulete este un experiment ale cărui evenimente generate pot fi apariția unui anumit număr, a unei anumite culori sau a unei anumite proprietăți a numerelor (mic, mare, par, impar, dintr-o anumita coloana, etc.). Multimea rezultatelor posibile atasată experimentului de invartire a roții ruletei este mulțimea numerelor afisate pe ruleta: {1, 2, 3, etc, 36, 0, 00} pentru ruleta americana sau {1, 2, 3, etc, 36, 0} pentru ruleta europeană. Acestea sunt numerele înscrise pe roata ruletei și pe masa de joc. Evenimentul aparitiei al = unui număr roșu este reprezentat de mulţimea {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}.

Împărțirea cărților la blackjack de către crupier este un experiment care genereaza evenimente ca apariția unei anumite cărți sau unei anumite valori pentru prima carte primită, obtinerea unui anumit total valoric din primele doua cărți primite, depasirea a 21 de puncte din primele trei cărți primite, etc.

În jocurile de cărți intalnim multe tipuri de experimente și categorii de evenimente. Fiecare tip de experiment are propria sa mulțime de rezultate posibile. Spre exemplu, experimentul de distribuire a primei carti primului jucător are drept mulțime a rezultatelor posibile toată mulțimea celor 52 de carti sau 104, daca se folosesc doua pachete. 

Experimentul de distribuire a celei de-a doua cărți primului jucător are drept mulțime a rezultatelor posibile mulțimea tuturor celor 52 de carti sau 104, mai putin prima carte distribuita. Experimentul de distribuire a primelor două cărți primului jucător are drept multime a rezultatelor posibile o mulțime de perechi ordonate, anume toate aranjamentele de 2 cărți din cele 52 ori 104.

La același joc de blackjack cu un singur jucător, evenimentul de tipul in care jucătorul primeste o carte de 10 puncte drept prima carte este reprezentată de mulțimea de cărți adica {10♠, 10♣, 10♥, 10♦, J♠, J♣, J♥, J♦, Q♠, Q♣, Q♥, Q♦, K♠, K♣, K♥, K♦}.

Evenimentul prin care jucătroul obține un total de cinci puncte din primele două cărți primite este reprezentat de multimea {(A, 4), (2, 3)} de combinatii a cate doua elemente din mulțimea valorilor cărților, care de fapt numara 4 x 4 + 4 x 4 = 32 combinatii de carti ca valoare și simbol.

In pokerul clasic, experimentul de distribuire a mainilor inițiale de cinci cărți generează evenimente ca: 

  • distribuția unei anumite valori a unui anumit jucător; 
  • distributia unei perechi la cel puțin doi jucatori;
  • distributia a patru cărți cu simboluri identice cel putin unui jucător, etc. In acest caz, mulțimea rezultatelor posibile este mulțimea tuturor combinatiilor de 5 carti din cele ale pachetului folosit; 
  • distribuirea a doua cărți noi unui jucător care a decartat două cărți este un alt experiment, a cărui mulțime a rezultatelor posibile este acum mulțimea tuturor combinațiilor de 2 cărți din cele ale pachetului, mai puțin cărțile văzute de observatorul care rezolva problema probabilitatii.

De ex: dacă te afli într-un joc cu 52 de cărți în situația de mai sus si vrei sa calculezi probabilitati priviind mana ta., mulțimea rezultatelor posibile la care trebuie sa te raportezi este multimea tuturor combinatiilor de 2 cărți din cele 52, fără cele 3 carti pe care le ai în mână și fără cele 2 carti decartate. Astfel, această mulțime a rezultatelor posibile numara toate combinatiile de 2 cărți din 47 (combinari de 47 luate cate 2).

Toate aceste exemple izolate nu sunt cele mai reprezentative pentru jocurile respective. Ele sunt prezentate ca o introducere a ceea ce înseamnă matematica jocurilor de noroc, anume modele ce sunt probabile particulare, prin care poate fi aplicată teoria probabilitatilor pentru a obține probabilitatile evenimentelor care ne interesează.

La loteria 6/49, experimentul de extragere a 6 numere din cele 49 generează evenimente precum aparitia a sase numere date, aparitia a cinci din sase numere date, apariția a cel putin unui numar dintr-un grup de numere dat, etc. In acest joc, mulțimea rezultatelor posibile este mulțimea tuturor combinatiilor de 6 numere din cele 49.

Modele ale teoriei probabilitatilor in jocurile de noroc

Un model probabilistic se bazează pe un experiment și o structura matematica atașată acelui experiment și anume campul de evenimente. Evenimentul este unitatea structurala cu care lucreaza teoria probabilitatilor. În jocurile de noroc exista multe categorii de evenimente si toate pot fi predefinite textual. In exemplele anterioare de experimente din domeniul jocurilor de noroc, am luat cunoștință cu cateva evenimente pe care aceste experimente le genereaza. Ele reprezinta o parte infima a multimii tuturor evenimentelor, care de fapt este mulțimea părților multimii rezultatelor posibile. 

Pentru un joc specific, evenimentele pot fi de diverse tipuri:

    – evenimente privind propriul joc sau jocul adversarilor;

    – evenimente privind jocul unei singure persoane sau al mai multor persoane;

    – evenimente imediate sau evenimente cu bătaie lungă.

Fiecare categorie poate fi divizata mai departe în multe alte subcategorii, în funcție de jocul la care se referă. Din punct de vedere matematic, aceste evenimente nu sunt altceva decat submultimi, iar campul de evenimente este o algebra Boole.

Modelul matematic complet este dat de câmpul de probabilitate atașat experimentului, care este tripletul mulțimea rezultatelor posibile – campul de evenimente – functia probabilitate. 

Pentru orice joc de noroc, modelul probabilistic este de tipul cel mai simplu – mulțimea rezultatelor posibile este finită, campul de evenimente este mulțimea părților mulțimii rezultatelor posibile, fiind implicit finita, iar funcția probabilitate este data de definitia probabilitatii pe un camp finit de evenimente. Din aceasta definitie și axiomele algebrei Boole decurg toate proprietatile probabilitatii care pot fi aplicate în calculul probabilistic practic pentru jocurile de noroc. Orice eveniment predictibil din jocurile de noroc, indiferent cat de complex, poate fi descompus in evenimente elementare, ca o reuniune de multimi. Spre exemplu, considerand evenimentul jucătorul 1 primeste o pereche intr-un joc de Texas Hold’em inainte de flop, acest eveniment este reuniunea tuturor combinatiilor de tipul (xx), x fiind orice valoare de la 2 la A. Fiecare astfel de combinatie (xx) este la randul sau o reuniune a evenimentelor elementare (x♣ x♠), (x♣, x♥), (x♣, x♦), (x♠, x♥), (x♠, x♦) si (x♥, x♦), toate fiind egal posibile. Intreaga reuniune numara 13C(4, 2) = 78 evenimente elementare (combinatii de 2 carti, ca valoare si simbol).

Exista de asemenea aplicații în jocuri de noroc în care intervin evenimente legate de jocul de cursa lunga, ale căror modele probabilistice pot fi alese dintre distribuțiile probabilistice clasice, precum bernoulliana, Poisson, polinomiala, sau hipergeometrica. 

Calculul probabilistic în jocurile de noroc

  • Calculul probabilistic înseamnă de fapt utilizarea tuturor proprietăților probabilității cu scopul de a obține formule explicite ale probabilelor evenimente de măsurat și de a le aplica în circumstanțe date pnetru a obține un rezultat final numeric;
  • Principiul de baza care face calculul probabilistic aplicabil în jocurile de noroc este acela ca orice eveniment compus poate fi descompus in evenimente elementare egal posibile, apoi proprietățile și formulele probabilitatii pot fi aplicate acestuia pentru a-i afla probabilitatea numerică.
  • În afara proprietăților de baza ale probabilitatii, formulele distributiilor probabilistice clasice sunt de un real ajutor pentru unele evenimente de joc complexe. În majoritatea calculelor probabilistice în jocuri de noroc, aplicarea formulelor se reduce la calculul combinatoric, care este un instrument esențial pentru acest  tip de aplicații.

Cea mai grea sarcina a matematicianului care efectuează calcul probabilistic este aceea de a obtine formule probabilistic explicite in forma algebrica, care sa exprime probabilitatile căutate.

Speranta matematica

Modelul matematic al unui joc de noroc nu implica numai probabilitati, dar si alti parametri si indicatori statistici, însă speranta matematica este cea mai importantă.

În jocurile de noroc, probabilitatile sunt asociate cu mizele puse în joc, cu scopul de a prevedea câștiguri sau pierderi medii în viitor. Un astfel de castig sau pierdere prevăzute pe baza probabilitatilor se numeste sperantă matematica sau valoare medie și este suma produselor dintre probabilitatea fiecărui rezultat posibil și castigul sau specific (cota de plata inmultita cu miza). Astfel, speranta matematica reprezinta suma medie pe care un jucator se așteaptă sa o castige pentru un anumit pariu repetat de mai multe ori.

Spre exemplu, o ruleta americana are 38 de rezultate egal posibile. Presupunem ca un pariu plasat pe un numar are cota de plată 35 la 1 (insemnand ca jucătorul este platit de 35 de ori suma mizata, iar miza este si ea returnata, astfel ca jucătorul primește de 36 de ori suma mizata). Astfel, speranta matematica a profitului rezultat din parierea repetata a unui dolar pe un numar este , care este aproximativ  –RON0,05. Aceasta înseamnă ca tu ca și jucător te aștepți sa pierzi în medie 5 cenți pentru fiecare RON pariat.

Definitie: Dacă X  este o variabilă aleatoare discretă cu valorile  şi probabilităţile corespunzătoare , , suma sau suma seriei (dacă este convergentă)  se numeşte speranţa matematică sau media variabilei X.

Astfel, speranta matematica este o medie ponderata, în sensul definiției de mai sus. În termeni ai jocurilor de noroc, aceasta valoare reprezinta o suma pozitiva sau negativa pe care ca si jucător te asteapti sa o castigi, daca efectuezi acelasi tip de experiment (joc sau situatie de joc) în condiții identice și prin plasarea aceluiași pariu, luand in calcul probabilitatea matematica.

Valoarea negativă a sperantei matematice este un semn ca acel pariu este profitabil pentru casa, asigurandu-i marja de castig. In practica, speranta matematica este un parametru statistic asociat oricărui pariu care are o probabilitate calculabila și un coeficient de castig, chiar dacă un jucător nu poate rula acel pariu de o infinitate de ori. Împreuna cu probabilitatea, speranta matematica reprezinta un criteriu de decizie in jocuri și pariuri cu coeficienți de castig specifici.

Speranta matematica


Rolul probabilității în strategiile jocurilor de noroc

Aici strategia are sens numai dacă se referă atât la joc, cât și la tine ca jucător. Aceasta deoarece jucătorul este cel care creeaza si aplica o strategie, în funcție de propriile sale scopuri. Printre toate criteriile din cadrul unei strategii, exista criterii personale subiective legate de profilul jucatorului, dar si criterii obiective, dintre care probabilitatea este cel mai important. A acționa într-un anume mod într-o situație de joc particulara, bazandu-ne pe evaluarea și compararea de șanse/probabilitati înseamnă a lua o decizie bazată pe probabilitate, ca fiind cea mai obiectiva masura a posibilitatii de care dispunem. Acestea pot fi decizii legate de situațiile de joc în cadrul unui singur joc, dar și decizii de alegere a unui joc sau altul, părăsire a unui joc pentru un altul sau chiar renuntarea la joc. Chiar daca sunt obiective, criteriile care stau la baza unor astfel de decizii pot avea o componenta subiectiva si anume pragul de risc pe care il accepti.

Acest parametru este o probabilitate medie la care fiecare jucător face referire atunci cand ia decizii in privinta actiunii urmatoare si reprezinta nivelul probabilitatii de esec pe care jucătorul este dispus să-l ignore, ramanand in joc. Un criteriu general care foloseste pragul de risc acceptat intr-o strategie de joc ar fi urmatorul: "Dacă șansele ca adversarii sau casa  sa dobandeasca un avantaj peste al meu la momentul t sunt mai mari decat p, atunci ma retrag (stau, arunc, etc.).”. Pragul de risc acceptat este p, iar valoarea lui p diferă de la un jucător la altul, de la un joc la altul și se poate schimba chiar în timpul aceluiași joc pentru același jucător.

O strategie bazată pe probabilitate consta și este definită ca acele decizii rezultand din evaluarea și compararea rezultatelor probabilistice. Matematica a demonstrat faptul ca o strategie bazată pe probabilitate este optimă în randul altor tipuri de strategii, în ceea ce privește dobândirea avantajului în timpul jocului, la finalul sau și în jocul de cursa lunga.

Exista strategii pentru orice joc de noroc, fie jucat cu adversari sau împotriva casei și acestea pot fi bazate pe probabilitate. În timp ce în jocuri precum poker strategia include interacțiunea cu adversarii și se aplica fiecarei runde (iar probabilitatea este esențială in evaluarea puterii unei maini), în jocuri simple precum loteria sau sloturi singura strategie este cea de alegere (alegerea numerelor jucate și a frecvenței de joc la loterie, sau alegerea unui joc de sloturi, a numarului de linii de câștig activate, sau alegerea de a nu juca un anumit joc de sloturi), iar aceasta strategie poate fi bazată de asemenea pe probabilitate.

Cine sunt cei care aplica noțiuni ale teoriei pariurilor?

  • Primii am putea sa spunem ca sunt cei din industria jocurilor de noroc. Cazinourile și casele de pariuri se folosesc de principiile teoriei pariurilor pentru a stabili cotele casei și evident pentru a se asigura de profitabilitate pe un termen lung. MAi este folosita si pentru a implementa unele strategii referitoare la limitarea potentialelor pierderi si la a maximiza castigurile lor;
  • Apoi, investitorii și unii managerii de portofoliu o aplică pentru a gestiona activele si portofoliile ce includ o evaluare a riscului, varietatea investitiilor si utilizarea strategiilor de hedging pentru a fi protejat împotriva fluctuațiilor adverse ale pieței;
  • in contextul teoriei jocurilor, teoria pariurilor este utilizată pentru o analiza și o optimizare in ceea ce priveste deciziile strategice în situații competitive, unde rezultatul depinde nu doar de propriile acțiuni, ci și de acțiunile altor participanți;
  • Apoi, ultimele dar nu cele din urma sunt companiile de asigurări care folosesc principiile teoriei pariurilor pentru a evalua probabilitatea și impactul evenimentelor asigurate și pentru a stabili primele de asigurare ce corespund acelui eveniment.

Sperăm ca ti vor fi de folos aceste informații din acest articol în care am încercat sa cuprindem o parte din informatiile generale care ni s-au parut importante, însă dacă ti-au stranit interesul, poți sa cercetezi mai mult si pe cont propriu. Teoria pariurilor și a probabilitatilor este foarte complexă și bogată în variațiuni, iar pentru fiecare joc, exista o intreaga carte dedicata matematicii sale.